ویدیو پاسخ فعالیت صفحه 126 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 1 صفحه 126 حسابان دوازدهم سلام! این فعالیت به بررسی مفهوم **تقعر (Concavity)** و ارتباط آن با **شیب خط مماس (مشتق اول)** می‌پردازد. 📐 --- ### 1. تحلیل تابع $h(x) = x^2$ (نمودار سمت راست) 📈 * **شیب خطوط مماس ($h'(x)$):** * $h'(x) = 2x$. با حرکت از $x=0$ به سمت راست (افزایش $x$)، $2x$ نیز **افزایش** می‌یابد. * $\text{شیب خطوط مماس: } \mathbf{\text{زیاد می‌شود}}$ * **جهت تقعر:** * تقعر نمودار به سمت **بالا** است (مانند دهانه یک فنجان رو به بالا). * $\text{تقعر منحنی: } \mathbf{\text{رو به بالا}}$ --- ### 2. تحلیل تابع $g(x) = \sqrt{x}$ (نمودار سمت چپ) 📉 * **شیب خطوط مماس ($g'(x)$):** * $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. با حرکت از $x=0$ به سمت راست (افزایش $x$)، مخرج کسر **افزایش** می‌یابد، در نتیجه مقدار کلی کسر **کاهش** می‌یابد. * $\text{شیب خطوط مماس: } \mathbf{\text{کم می‌شود}}$ * **جهت تقعر:** * تقعر نمودار به سمت **پایین** است (مانند دهانه یک فنجان رو به پایین). * $\text{تقعر منحنی: } \mathbf{\text{رو به پایین}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 2 صفحه 126 حسابان دوازدهم جهت تقعر منحنی و نحوه تغییر شیب خطوط مماس، یک رابطه مستقیم و منطقی دارند که اساس **آزمون مشتق دوم** است. 💡 --- ### رابطه تقعر و تغییرات شیب | جهت تقعر | تغییر شیب مماس | مفهوم | |:---:|:---:|:---:| | **رو به بالا (Concave Up)** | **شیب زیاد می‌شود** (افزایشی) | نمودار به سمت داخل منحنی می‌شود و خطوط مماس از بالا به سمت پایین می‌چرخند (مشتق اول، صعودی است). | | **رو به پایین (Concave Down)** | **شیب کم می‌شود** (نزولی) | نمودار به سمت بیرون منحنی می‌شود و خطوط مماس از پایین به سمت بالا می‌چرخند (مشتق اول، نزولی است). | ### مثال * **$h(x) = x^2$:** تقعر رو به بالا است. شیب خط مماس از 0 به $+\infty$ **افزایش** می‌یابد. * **$g(x) = \sqrt{x}$:** تقعر رو به پایین است. شیب خط مماس از $+\infty$ به 0 **کاهش** می‌یابد.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 3 صفحه 126 حسابان دوازدهم این سوال در مورد یکنوایی مشتق تابع $h(x) = x^2$ است. یکنوایی مشتق اول (یعنی صعودی یا نزولی بودن $h'$) توسط **علامت مشتق دوم ($h''$)** تعیین می‌شود. 💡 --- ### 1. یافتن مشتق اول و دوم تابع $h(x) = x^2$ * **مشتق اول ($h'$):** $$h'(x) = 2x$$ * **مشتق دوم ($h''$):** $$h''(x) = 2$$ ### 2. بررسی یکنوایی $h'$ (با استفاده از $h''$) * **بازه‌:** $[0, +\infty)$ * **علامت $h''$:** در این بازه، $h''(x) = 2$ که **همیشه مثبت** است ($h''(x) > 0$). **قاعده:** اگر مشتق یک تابع (در اینجا $h'$) در یک بازه مثبت باشد، آن تابع در آن بازه **صعودی** است. * **نتیجه:** تابع $h'$ در بازه $[0, +\infty)$ **صعودی** است. (شیب خط مماس بر $h(x)$ همواره در حال افزایش است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 4 صفحه 126 حسابان دوازدهم این سوال در مورد یکنوایی مشتق تابع $g(x) = \sqrt{x}$ است. یکنوایی مشتق اول ($g'$) توسط **علامت مشتق دوم ($g''$)** تعیین می‌شود. 💡 --- ### 1. یافتن مشتق اول و دوم تابع $g(x) = \sqrt{x}$ * **مشتق اول ($g'$):** $$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-1/2}$$ * **مشتق دوم ($g''$):** $$g''(x) = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} x^{-3/2}\right) = -\frac{1}{4} x^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}}$$ ### 2. بررسی یکنوایی $g'$ (با استفاده از $g''$) * **بازه‌:** $(0, +\infty)$ * **علامت $g''$:** در این بازه، $\sqrt{x^3}$ همواره مثبت است. پس $g''(x) = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}}$ **همیشه منفی** است ($g''(x) < 0$). **قاعده:** اگر مشتق یک تابع (در اینجا $g'$) در یک بازه منفی باشد، آن تابع در آن بازه **نزولی** است. * **نتیجه:** تابع $g'$ در بازه $[0, +\infty)$ **نزولی** است. (شیب خطوط مماس بر $g(x)$ همواره در حال کاهش است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 5 صفحه 126 حسابان دوازدهم این فعالیت به صورت خلاصه، قواعد اساسی **یکنوایی (Monotonicity)** را بیان می‌کند که از طریق بررسی علامت مشتق اول و دوم به دست می‌آیند. 💡 --- ### الف) رابطه $f$ و $f'$ (قاعده یکنوایی) **مشتق اول ($f'$) روند تغییر تابع اصلی ($f$) را تعیین می‌کند:** * **علامت $f'$ بر بازه $I$ مثبت است، آنگاه تابع $f$ بر بازه $I$:** **صعودی (افزایشی)** است. ($f'(x) > 0 \implies f$ صعودی است.) * **علامت $f'$ بر بازه $I$ منفی است، آنگاه تابع $f$ بر بازه $I$:** **نزولی (کاهشی)** است. ($f'(x) < 0 \implies f$ نزولی است.) --- ### ب) رابطه $f'$ و $f''$ (قاعده تقعر) **مشتق دوم ($f''$) روند تغییر مشتق اول ($f'$) را تعیین می‌کند:** * **علامت $f''$ بر بازه $I$ مثبت است، آنگاه تابع $f'$ بر بازه $I$:** **صعودی (افزایشی)** است. (این یعنی تقعر $f$ رو به بالا است.) ($f''(x) > 0 \implies f'$ صعودی است.) * **علامت $f''$ بر بازه $I$ منفی است، آنگاه تابع $f'$ بر بازه $I$:** **نزولی (کاهشی)** است. (این یعنی تقعر $f$ رو به پایین است.) ($f''(x) < 0 \implies f'$ نزولی است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 6 صفحه 126 حسابان دوازدهم این فعالیت قواعد **آزمون مشتق دوم (Second Derivative Test)** را برای تعیین تقعر و رفتار شیب خط مماس خلاصه می‌کند. 💡 --- ### الف) حالت $f''(x) > 0$ * $\text{اگر مقدار } f'' \text{ در یک بازه مثبت باشد، تابع } f' \text{ در آن بازه}$ **صعودی** $\text{است.}$ * $\text{و لذا شیب خطوط مماس بر منحنی در آن بازه}$ **افزایش** $\text{می‌یابد.}$ * $\text{و تقعر منحنی } f \text{ در آن بازه رو به}$ **بالا** $\text{است.}$ --- ### ب) حالت $f''(x) < 0$ * $\text{اگر مقدار } f'' \text{ در یک بازه منفی باشد، تابع } f' \text{ در آن بازه}$ **نزولی** $\text{است.}$ * $\text{و لذا شیب خطوط مماس بر منحنی در آن بازه}$ **کاهش** $\text{می‌یابد.}$ * $\text{و تقعر منحنی } f \text{ در آن بازه رو به}$ **پایین** $\text{است.}$